x が 3 に近づくときの (x^2 + 2x - 15)/(x^2 - 9) の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   まず直接代入し、その結果を読み取る。 分子と分母に $x=3$ を入れると

   $\frac{9+6-15}{9-9}=\frac{0}{0}$

   となる。$\tfrac00$ の形は定義されないのではなく不定である。これは分子と分母が因子 $(x-3)$ を共有していて、それを取り除けるという合図である。

2. 2

   分子を因数分解する。 掛けて $-15$、足して $+2$ になる 2 数が必要で、それは $+5$ と $-3$ である。

   $x^2+2x-15=(x+5)(x-3)$

3. 3

   分母を平方の差として因数分解する。

   $x^2-9=(x-3)(x+3)$

   どちらの因数分解にも $(x-3)$ が含まれており、ステップ 1 の見立てが裏づけられた。

4. 4

   共通因子を約分する。 $x\ne 3$ では分数は

   $\frac{(x+5)(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{x+5}{x+3}$

   に等しい。$x\to 3$ の極限は $x=3$ における値を決して使わず、$x-3\ne 0$ である近くの値しか使わないので、この約分は正当である。

5. 5

   簡約した式に代入する。 簡約した関数は $x=3$ で連続である。

   $\frac{3+5}{3+3}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$

   数値でも、$x=2.9999$ でもとの商は $1.33334$、$x=3.0001$ では $1.33333$ となり、どちらも $4/3\approx 1.3333$ に迫っている。