y = 8x⁵ − 3x⁻⁴ + 4/x − 9 を微分せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   4 つの項をすべて $cx^n$ の形にする。 手を入れる必要があるのは 3 番目の項だけである：

   $\frac4x=4x^{-1}$

   これで $y=8x^5-3x^{-4}+4x^{-1}-9$ となる。先にこの変換をしておけば、関数全体をただ 1 つの公式で処理できる。

2. 2

   最高次の項を微分する。

   $\frac{d}{dx}\left(8x^5\right)=8\cdot 5x^4=40x^4$

   指数 $5$ が係数になり、指数は $4$ に下がる。

3. 3

   $-3x^{-4}$ を微分する。

   $\frac{d}{dx}\left(-3x^{-4}\right)=-3\cdot(-4)x^{-4-1}=12x^{-5}$

   $-4$ から 1 を引くと $-5$ になる。指数はさらに負のほうへ動くのであって、ここを逆にしてしまう誤りが最も多い。

4. 4

   $4x^{-1}$ を微分し、定数が消えることを確認する。

   $\frac{d}{dx}\left(4x^{-1}\right)=-4x^{-2},\qquad \frac{d}{dx}(-9)=0$

   定数の微分が 0 になるのは、水平な直線の傾きが 0 だからである。

5. 5

   正の指数の形で答えをまとめる。

   $\frac{dy}{dx}=40x^4+\frac{12}{x^5}-\frac{4}{x^2}$

6. 6

   $x=1$ で確認し、定義域を押さえる。 公式からは $40+12-4=48$ となり、$x=1$ におけるもとの関数の数値的な差分商と一致する。$y$ も $y'$ も $x=0$ では定義されないので、この結果は $x\neq 0$ で成り立つ。