頂点が (0, 0)、(π, 0)、(π, π) の三角形領域の上で、x cos(x + y) の重積分を計算せよ。

Step-by-step solution

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   3つの頂点を境界の式に翻訳する。 $(0,0)$ から $(\pi,0)$ への辺は $y=0$ 上にあり、$(\pi,0)$ から $(\pi,\pi)$ への辺は鉛直線 $x=\pi$、$(0,0)$ から $(\pi,\pi)$ への辺は直線 $y=x$ である。したがってこの三角形は $0\le x\le\pi$ かつ $0\le y\le x$ を満たす点の集合である。

2. 2

   積分の順序を $dy\,dx$ に選ぶ。 先に $y$ で積分すれば $x$ の範囲は定数（$0$ から $\pi$）のままで、$y$ の範囲は $0$ と $x$ という簡単な2つの関数になる。さらに内側の積分では $x$ が定数なので、因子 $x$ を外に出せるのも都合がよい：

   $\int_0^\pi\!\!\int_0^x x\cos(x+y)\,dy\,dx.$

3. 3

   内側の積分を実行する。 $x$ を固定すると $\int\cos(x+y)\,dy=\sin(x+y)$ なので：

   $x\Big[\sin(x+y)\Big]_{y=0}^{y=x}=x\big(\sin 2x-\sin x\big).$

4. 4

   $\int_0^\pi x\sin 2x\,dx$ を部分積分で処理する。 $u=x$、$dv=\sin 2x\,dx$ とすると $du=dx$、$v=-\tfrac{\cos 2x}{2}$ で：

   $\left[-\frac{x\cos 2x}{2}\right]_0^\pi+\frac12\int_0^\pi\cos 2x\,dx=-\frac{\pi}{2}+\left[\frac{\sin 2x}{4}\right]_0^\pi=-\frac{\pi}{2}.$

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   $\int_0^\pi x\sin x\,dx$ も同じように処理する。 $u=x$、$v=-\cos x$ として：

   $\Big[-x\cos x\Big]_0^\pi+\int_0^\pi\cos x\,dx=\pi+\Big[\sin x\Big]_0^\pi=\pi.$

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   2つを組み合わせる。 外側の積分は2つの結果の差である：

   $\iint_R x\cos(x+y)\,dA=-\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{3\pi}{2}\approx -4.712.$

   答えが負になるのは予想通りである。この三角形の大部分で $x+y$ は $\tfrac{\pi}{2}$ と $\tfrac{3\pi}{2}$ の間にあり、そこで $\cos(x+y)$ は負であり、しかも重み $x$ がまさにその領域で最大になるからである。数値積分すると $-4.71239$ となり、$-\tfrac{3\pi}{2}$ と一致する。