n を 1 から無限大まで動かしたときの x^(n-1)/n の和を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   指数をずらして標準的な級数に持ち込む。 よく知られた恒等式は分子が $x^{n-1}$ ではなく $x^{n}$ である。$x\neq 0$ のとき、和全体から $x$ を 1 つくくり出す。

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{\,n-1}}{n}=\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}$

   制限 $x\neq 0$ はここで持ち込まれたものであり、あとで必ず立ち返らねばならない。

2. 2

   対数の級数を使う。 等比級数 $\sum_{n\ge 0}t^{n}=\dfrac{1}{1-t}$ を $0$ から $x$ まで項別に積分すると

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}=-\ln(1-x),\qquad |x|<1$

   が得られる。

3. 3

   $x$ で割って閉じた形にする。

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{\,n-1}}{n}=-\frac{\ln(1-x)}{x},\qquad 0<|x|<1$

4. 4

   $x=0$ を別に扱う。 もとの級数は $x=0$ では $\dfrac{0^{0}}{1}+0+0+\cdots$ であり、最初の項があいまいな $0^{0}$ になる。閉じた形も同様に $\tfrac00$ である。どちらも極限で解決する。

   $\lim_{x\to 0}\frac{-\ln(1-x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1/(1-x)}{1}=1$

   ロピタルの定理による。したがって $x=0$ は除去可能な特異点であり、そこでの自然な値は $1$ である。

5. 5

   完全な答えを述べる。

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{\,n-1}}{n}=\begin{cases}-\dfrac{\ln(1-x)}{x},&0<|x|<1\\[4pt]1,&x=0\end{cases}$

   数値では $x=0.4$ のとき 400 項の部分和が $1.27706405941$ となり、$-\ln(0.6)/0.4=1.27706405941$ と一致する ✓。