sin²(x) cos³(x) の x についての積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   奇数乗を見つける。 余弦が奇数乗$3$で現れている。2つの三角関数の因子のうち一方の指数が奇数であれば、その因子が置換のための微分を供給できるので、漸化式は不要である。

2. 2

   余弦を1つ切り離す。 $\cos^3 x=\cos^2 x\cdot\cos x$と書けば、積分は$\int\sin^2 x\,\cos^2 x\,\cos x\,dx$になる。

3. 3

   残った偶数乗の部分を書き換える。 三平方の恒等式$\cos^2 x=1-\sin^2 x$を使うと被積分関数は$\int\sin^2 x\left(1-\sin^2 x\right)\cos x\,dx$となる。これで全体が$\sin x$の関数と$\cos x\,dx$の積になった。

4. 4

   $u=\sin x$と置換する。 すると$du=\cos x\,dx$となり、積分は多項式$\int u^2\left(1-u^2\right)du=\int\left(u^2-u^4\right)du$にまで潰れる。

5. 5

   積分してもとの変数に戻す。 $\frac{u^3}{3}-\frac{u^5}{5}+C=\frac{\sin^3 x}{3}-\frac{\sin^5 x}{5}+C$。

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   数値で確認する。 この原始関数を$0$から$1$まででの差として評価すると$0.11423043$となり、同じ区間でもとの被積分関数にシンプソンの公式を適用しても$0.11423043$が返る——両者は一致する。