x → −5 のときの (√(4 − x) − 3)/(x² + 7x + 10) の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   不定形であることを確認する。 $x=-5$では分子が$\sqrt{5+4}-3=\sqrt9-3=0$、分母が$25-35+10=0$である。よって商は$\tfrac00$型であり、両方が$(x+5)$で割り切れるので、代入する前にそれを約分しなければならない。

2. 2

   分母を因数分解する。 積が$10$、和が$7$になる2数は$5$と$2$である：

   $x^{2}+7x+10=(x+5)(x+2)$

   これで$(x+5)$が表に出た。あとは分子にも同じものを作ればよい。

3. 3

   分子の共役をかける。 $u=4-x$として$\left(\sqrt{u}-3\right)\left(\sqrt{u}+3\right)=u-9$を使うと：

   $\left(\sqrt{4-x}-3\right)\left(\sqrt{4-x}+3\right)=(4-x)-9=-x-5=-(x+5)$

   根号が消え、期待していた$(x+5)$が現れる——ただしマイナス符号がついているので、それを最後まで持ち歩く必要がある。

4. 4

   約分して整理する。 商は

   $\frac{-(x+5)}{(x+5)(x+2)\left(\sqrt{4-x}+3\right)}=\frac{-1}{(x+2)\left(\sqrt{4-x}+3\right)}$

   となり、これは$x\neq-5$で有効である。極限が見ているのはまさにその除外近傍である。この形はもとの式と$x=-6,-5.1,-4.9,-4$で$10^{-8}$の精度まで照合済みである ✓。

5. 5

   簡約した式に代入する。 これは$x=-5$で連続である：

   $\frac{-1}{(-5+2)\left(\sqrt{9}+3\right)}=\frac{-1}{(-3)(6)}=\frac{1}{18}$

   2つの負号が打ち消し合うので、極限は正になる。

6. 6

   数値で検証する。 $x=-5\pm10^{-5}$でもとの商を評価すると$0.05555576$と$0.05555535$になり、$\tfrac1{18}=0.0555556$を挟んでいる ✓。両側の極限が一致するので、極限は存在して$\tfrac{1}{18}$に等しい。