区分的に定義された関数 f が連続になるような a と b の値を求めよ。ただし f(x) = x + 7a （x ≤ −2）、f(x) = 7ax + b （−2 < x < 1）、f(x) = x − 7b （x ≥ 1）である。

Step-by-step solution

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   連続性が実際に壊れうる場所を特定する。 3 つの枝はどれも多項式なので、それが適用される範囲では連続である。問題が起こりうるのは、式が切り替わる 2 つのつなぎ目 $x=-2$ と $x=1$ だけである。つなぎ目での連続とは、左極限・右極限・関数値の 3 つが一致することであり、ここでは隣り合う 2 つの式がその点で一致することに帰着する。つなぎ目が 2 つあるので式も 2 本得られ、未知数 2 つとちょうど釣り合う。

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   $x=-2$ でのつなぎ条件を書く。 $x=-2$ は第 1 の枝が担当するので $f(-2)=-2+7a$ である。右極限は真ん中の枝が与える：

   $\lim_{x\to -2^{+}}f(x)=7a(-2)+b=-14a+b$

   これらを等しいとおくと：

   $-2+7a=-14a+b\ \Longrightarrow\ 21a-b=2\ \Longrightarrow\ b=21a-2$

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   $x=1$ でのつなぎ条件を書く。 左極限は真ん中の枝が与え、$x=1$ は第 3 の枝が担当する：

   $\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=7a+b,\qquad f(1)=1-7b$

   これらを等しいとおくと：

   $7a+b=1-7b\ \Longrightarrow\ 7a+8b=1$

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   代入法で 2 元連立を解く。 $b=21a-2$ を $7a+8b=1$ に入れる：

   $7a+8(21a-2)=1\ \Longrightarrow\ 7a+168a-16=1\ \Longrightarrow\ 175a=17\ \Longrightarrow\ a=\frac{17}{175}$

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   $b$ に代入し直して約分する。 $21\cdot 17=357$ を使って $b=21a-2$ より：

   $b=\frac{357}{175}-2=\frac{357}{175}-\frac{350}{175}=\frac{7}{175}=\frac{1}{25}$

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   2 つのつなぎ目を厳密な分数で検算する。 $a=\tfrac{17}{175}$、$b=\tfrac{1}{25}$ とすると、$x=-2$ では左の枝が $-2+7a=-\tfrac{33}{25}$、真ん中が $-14a+b=-\tfrac{33}{25}$ を与える。$x=1$ では真ん中が $7a+b=\tfrac{18}{25}$、右の枝が $1-7b=\tfrac{18}{25}$ を与える。どちらの組も分数として厳密に一致するので、$f$ はいたるところ連続である。