x² + y² − 7y = 0 と x² + y² − 9y = 0 の2つの円、および直線 y = x/√3 と x = 0 で囲まれた図形がある。その面積を極座標の積分で表し、値を求めよ。

Step-by-step solution

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   2つの円を極形式に直す。 $x=r\cos\varphi$、$y=r\sin\varphi$ を代入すると $x^2+y^2$ は $r^2$ になるので、$x^2+y^2-7y=0$ は $r^2-7r\sin\varphi=0$、すなわち $r(r-7\sin\varphi)=0$ となる。極 $r=0$ を除けば $r=7\sin\varphi$ が得られ、2つ目の円も同じ計算で $r=9\sin\varphi$ となる。どちらも中心が $y$ 軸上にあり原点を通る円なので、この領域では動径は小さい方から大きい方まで動く：

   $7\sin\varphi \le r \le 9\sin\varphi.$

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   2本の直線を角に直す。 原点を通る直線は、極座標では1本の半直線 $\varphi=\text{一定}$ になる。直線 $x=0$ は $y$ 軸なので $\varphi=\tfrac{\pi}{2}$。$y=\tfrac{x}{\sqrt3}$ には極形式を代入して $r\sin\varphi=\tfrac{r\cos\varphi}{\sqrt3}$、よって $\tan\varphi=\tfrac{1}{\sqrt3}$ となり $\varphi=\tfrac{\pi}{6}$。したがって角は

   $\frac{\pi}{6}\le\varphi\le\frac{\pi}{2}$

   の範囲を動く。

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   面積の積分を組み立てる。 極座標での面積要素は $dS=r\,dr\,d\varphi$ である。余分な因子 $r$ はヤコビアンで、ここで最も忘れられやすい部分である。上で求めた範囲を使うと、

   $S=\int_{\pi/6}^{\pi/2}\int_{7\sin\varphi}^{9\sin\varphi} r\,dr\,d\varphi.$

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   $r$ についての内側の積分を実行する。 被積分関数が $r$ だけなので、内側の積分は平方の差になり、$\sin^2\varphi$ がきれいにくくり出せる：

   $\int_{7\sin\varphi}^{9\sin\varphi} r\,dr=\frac{(9\sin\varphi)^2-(7\sin\varphi)^2}{2}=\frac{81-49}{2}\sin^2\varphi=16\sin^2\varphi.$

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   半角の公式を使って $\varphi$ で積分する。 $\sin^2\varphi$ はそのままでは原始関数が見えないので、$\sin^2\varphi=\tfrac{1-\cos 2\varphi}{2}$ と書き直す：

   $S=\int_{\pi/6}^{\pi/2}16\sin^2\varphi\,d\varphi=8\int_{\pi/6}^{\pi/2}(1-\cos 2\varphi)\,d\varphi=8\left[\varphi-\frac{\sin 2\varphi}{2}\right]_{\pi/6}^{\pi/2}.$

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   上端・下端で値を求める。 $\varphi=\tfrac{\pi}{2}$ では $\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\sin\pi}{2}=\tfrac{\pi}{2}$。$\varphi=\tfrac{\pi}{6}$ では $\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{1}{2}\sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\sqrt3}{4}$。差をとって $8$ 倍すると：

   $S=8\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt3}{4}\right)=8\cdot\frac{\pi}{3}+2\sqrt3=\frac{8\pi}{3}+2\sqrt3\approx 11.84.$

   同じ積分を数値計算すると $11.8417$ となり、閉じた形が正しいことが確認できる。