曲線 y = 3x^4 - 6x^2 + 2 について、x 座標が 2 である点での傾きと、その点における接線の方程式を求めよ。

Step-by-step solution

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   曲線を微分する。 項ごとに微分すると $\frac{dy}{dx}=12x^3-12x$ である。導関数は傾きを与える関数であり、$x$ の値を入れればその点での接線の傾きが返る。

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   $x=2$ での傾きを求める。 $12(2)^3-12(2)=12(8)-24=96-24=72$ なので、接線の傾きは $m=72$ である。

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   実際の接点を求める。 問題用紙では点が $(2,-2)$ と表示されているが、代入すると $y(2)=3(16)-6(4)+2=48-24+2=26$ となる。曲線が通るのは $(2,26)$ であり、印刷された $y$ の値は誤植である。それを使うと直線の位置がずれてしまう。

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   点と傾きの形を使う。 $m=72$、$(x_1,y_1)=(2,26)$ とすると $y-26=72(x-2)$ となる。

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   傾きと切片の形に展開する。 $y-26=72x-144$、したがって $y=72x-118$ である。

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   検算する。 $x=2$ でこの直線は $144-118=26$ を与え、曲線と一致する。また傾き $72$ も導関数と一致する——接線が満たすべき 2 つの条件がどちらも成り立っている。