微分方程式 dy/dx = y を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   方程式が何を言っているかを読む。 変化の速さが量そのものに等しい——指数的増加を定義づける性質である。右辺は $y$ だけに依存するので変数分離形である。$y=0$ が定数解であることにもすぐ気づいておきたい。両辺とも $0$ になるからで、最後にこれを回収する必要がある。

2. 2

   変数を分離する。 ひとまず $y\neq0$ と仮定して、$y$ で割り $dx$ を掛ける。

   $\frac{1}{y}\,dy=dx$

3. 3

   両辺を積分する。

   $\int\frac{1}{y}\,dy=\int1\,dx\qquad\Longrightarrow\qquad \ln|y|=x+C$

   絶対値が要るのは、負の数の $\ln$ が定義されないからであり、それがあるおかげで負の解も生き残る。

4. 4

   指数をとって y を解放する。

   $|y|=e^{x+C}=e^{C}e^{x}$

   ここで $e^C$ は任意の正の定数である。

5. 5

   符号を定数に吸収させる。 絶対値を外すと $\pm$ が現れて $y=\pm e^{C}e^{x}$ となる。$\pm e^{C}$ は 0 でないすべての実数を動くので、これを $C$ と置き直す。

   $y=Ce^{x}$

   さらに $C=0$ を許せば、ステップ 2 で除外した定数解 $y=0$ も復活するので、この 1 つの式が完全な一般解になる。

6. 6

   微分して検証する。 $y=Ce^x$ なら $\dfrac{dy}{dx}=Ce^x=y$ ✓ であり、どの $C$ についても方程式が満たされる。$C=1.7$ として $x=-1,\,0.3,\,2.2$ で数値的に確かめると、対称差分商が $y$ 自身と 7 桁まで一致する ✓。