関数 y = (1/3)x³ + x² − 8x + 1 の臨界値を求め、小さいほうから答えよ。

Step-by-step solution

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   微分する前に臨界値とは何かを押さえる。 臨界値とは $y'=0$ となる、あるいは $y'$ が存在しない $x$ のことである。この $y$ は多項式なので導関数はいたるところ存在し、後者の可能性は消える——問題はまるごと $y'=0$ を解くことに尽きる。$x^{3}$ の前の $\tfrac13$ は、導関数の最高次の係数がちょうど $1$ になるように置かれている。

2. 2

   べき乗の微分公式で項ごとに微分する。 各項は $x$ のべきに定数を掛けたものである：

   $y'=\frac{1}{3}\cdot 3x^{2}+2x-8+0=x^{2}+2x-8$

   定数項の $+1$ は、どんな定数もそうであるように、何も寄与しない。

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   導関数を 0 とおく。 臨界値は次の解である：

   $x^{2}+2x-8=0$

4. 4

   解の公式に飛びつかず因数分解する。 積が $-8$、和が $+2$ になる 2 数を探すと $+4$ と $-2$ である：

   $x^{2}+2x-8=(x+4)(x-2)=0$

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   各因数を解き、順に並べる。 それぞれを 0 とおくと

   $x+4=0\ \Rightarrow\ x=-4,\qquad x-2=0\ \Rightarrow\ x=2$

   よって臨界値は $x=-4$ と $x=2$ であり、小さいほうは $x=-4$ である。

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   導関数と解の両方を確認する。 代入し直すと $(-4)^{2}+2(-4)-8=16-8-8=0$、$2^{2}+2(2)-8=4+4-8=0$ となり、どちらも本物の解である。もとの $y$ の中心差分による数値微分は $x=0.5$ で $-6.75$、$x=-1.2$ で $-8.96$ となり、その点での $x^{2}+2x-8$ と一致するので、導関数そのものも正しい。