1/x の x についての積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   なぜここでべき乗則が使えないのかを見る。 公式$\int x^{p}dx=\dfrac{x^{p+1}}{p+1}$は$p=-1$で破綻する。分母$p+1$がゼロになってしまうからである。したがって$\int x^{-1}dx$はこの一族の中で唯一の例外であり、独自の答えを必要とする。

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   対数の導関数から出発する。 $x>0$では$\dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}$なので、$\ln x$は原始関数になる——ただし正の軸の上でだけである。$\ln x$は$x\le 0$では定義されないからである。

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   被積分関数がまだ問題なく定義されている負の$x$を扱う。 $\dfrac1x$は$x<0$でもきちんと定義されているので、そこにも原始関数があるはずである。$x<0$では$|x|=-x$と書けるので、合成関数の微分法で微分すると：

   $\frac{d}{dx}\ln(-x)=\frac{1}{-x}\cdot(-1)=\frac{1}{x}$

   同じ導関数が出てくる。絶対値が正しい修正である理由はまさにここにある。

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   2つの場合を1つの式にまとめる。

   $\int\frac{1}{x}\,dx=\ln\left|x\right|+C\qquad(x\neq 0)$

   代わりに$\ln x+C$と書いてしまうと、答えが暗黙のうちに$x>0$に制限され、負の入力すべてに対して定義されない式になってしまう。

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   積分定数についての細かい点に注意する。 定義域$x\neq 0$は連結でない2つの部分に分かれるため、定数は実際には両側で異なりうる：最も一般的な原始関数は$x>0$で$\ln|x|+C_{1}$、$x<0$で$\ln|x|+C_{2}$である。定積分ではこれが効いてくる——$\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x}$のように$0$をまたぐ積分は広義積分であって発散し、$\ln 1-\ln 1=0$にはならない。