x^2*y + y*sin(x) の x についての偏微分を求めよ。

Step-by-step solution

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   「$x$ についての偏微分」の意味を確定させる。 $y$ が現れるところはすべて数であるかのように固定される。したがって $y$ はどちらの項でも定数の係数としてふるまい、積の微分法はどこでも必要ない——ここで余計に複雑にしてしまいがちである。

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   第 1 項を微分する。 $y$ が定数なので $x^2y$ は $y$ 倍の $x^2$ である。

   $\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2y\right)=y\cdot 2x=2xy$

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   第 2 項を微分する。 ここでも $y$ は定数の係数であり、$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$ である。

   $\frac{\partial}{\partial x}\left(y\sin x\right)=y\cos x$

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   結果を足す。

   $\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2y+y\sin x\right)=2xy+y\cos x=y\left(2x+\cos x\right)$

   $y$ をくくり出すと構造がはっきりする。この関数全体が $y$ と $x$ だけの関数との積になっているのである。

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   差分商で確認する。 $x=1$、$y=3$ とすると、公式は $3(2+\cos 1)=3(2+0.540302)=7.620907$ を予測する。数値的には $h=10^{-5}$ として

   $\frac{f(1.00001,3)-f(0.99999,3)}{2\times 10^{-5}}=7.620907$

   となり、小数第 6 位まで一致する。対照的に $\partial/\partial y$ は $x^2+\sin x$ となってまったく別の式になる。だからこそ、どの変数で微分するのかを明示しなければならない。