x = 0 から x = 1 までの x² · e^(−x) の定積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   多項式の次数が下がるように部分積分の役割を選ぶ。 被積分関数は多項式 × 指数関数という、部分積分の典型例である。$u = x^2$（微分すると 0 に近づく）と $dv = e^{-x}dx$（積分しても大きくならない）を取ると、$du = 2x\,dx$、$v = -e^{-x}$ となる。

2. 2

   部分積分を 1 回適用する。

   $\int x^2 e^{-x}dx = -x^2 e^{-x} + \int 2x e^{-x}dx$

   残った積分の次数は $2$ ではなく $1$ ——初等的な形に一歩近づいた。

3. 3

   もう 1 回適用する。 $u = 2x$、$dv = e^{-x}dx$ とすると：

   $\int 2x e^{-x}dx = -2x e^{-x} + \int 2e^{-x}dx = -2x e^{-x} - 2e^{-x}$

   まとめると、原始関数は

   $\int x^2 e^{-x}dx = -\left(x^2 + 2x + 2\right)e^{-x} + C$

4. 4

   積分区間の端で評価する。 $x = 1$ では $-(1 + 2 + 2)e^{-1} = -5e^{-1}$、$x = 0$ では $-(0 + 0 + 2)e^{0} = -2$。引き算して

   $\int_0^1 x^2 e^{-x}dx = -\frac{5}{e} - (-2) = 2 - \frac{5}{e}$

5. 5

   値がもっともらしいか確かめる。 $e \approx 2.718282$ とすると $\tfrac{5}{e} \approx 1.839397$ なので、積分は $\approx 0.160603$ である。$[0,1]$ 上の複合シンプソン則の近似値は $0.1606028$ で、小数第 7 位まで一致する。この値は粗い上界 $\int_0^1 x^2 dx = \tfrac13$ よりも十分小さく、区間上で $e^{-x} < 1$ である以上そうでなければならない。