x³ sin(7x⁴ + 3) dx の積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   部分積分ではなく置換積分を選ぶ。 積の形を見ると反射的に部分積分を考えたくなるが、ここでは外側の因子$x^{3}$が（定数倍を除いて）正弦の内側の導関数そのものである。これが$u$による置換積分の目印であり、部分積分をすると積分はかえって悪化する。

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   置換を用意する。

   $u=7x^{4}+3\qquad\Longrightarrow\qquad du=28x^{3}\,dx\qquad\Longrightarrow\qquad x^{3}\,dx=\frac{du}{28}$

   定数$\tfrac1{28}$は、$x^{3}$と$28x^{3}$のずれを吸収する役割を担っている。

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   積分を完全に$u$で書き直す。

   $\int x^{3}\sin\!\left(7x^{4}+3\right)dx=\frac{1}{28}\int\sin u\,du$

   $x$が1つも残らないことが、置換の選び方が正しかったことの確認になる。

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   積分してもとの変数に戻す。 $\displaystyle\int\sin u\,du=-\cos u$なので：

   $\frac{1}{28}\left(-\cos u\right)+C=-\frac{\cos\!\left(7x^{4}+3\right)}{28}+C$

   マイナス符号は正弦の原始関数から来ており、ここで最も落としやすいものである。

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   微分して検証する。 合成関数の微分法により、

   $\frac{d}{dx}\left[-\frac{\cos\!\left(7x^{4}+3\right)}{28}\right]=\frac{\sin\!\left(7x^{4}+3\right)\cdot28x^{3}}{28}=x^{3}\sin\!\left(7x^{4}+3\right)\ \checkmark$

   数値微分でも$x=0.4$、$0.9$、$1.3$において$10^{-5}$以内で一致する ✓。$28$がちょうど約分されるが、定数をあのように選んだ理由はまさにそこにある。