tanh(10^-13 x)/x のマクローリン展開を 10 次の項まで求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   $\tanh z$ の標準展開から出発する。 双曲線正接は奇関数なので、そのマクローリン展開には奇数次しか現れない。

   $\tanh z=z-\frac{z^{3}}{3}+\frac{2z^{5}}{15}-\frac{17z^{7}}{315}+\frac{62z^{9}}{2835}-\frac{1382z^{11}}{155925}+\cdots$

   係数は $\tanh z=\sum_{n\ge1}\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}z^{2n-1}$ から来るが、10 次までの答えには上に並べた 6 項があれば十分である。

2. 2

   代入する前に、どこまで展開するかを決める。 $x$ で割ると次数がすべて 1 つ下がるので、奇数次 $z^{2k+1}$ は偶数次 $x^{2k}$ になる。最終的な答えで次数 $10$ まで届かせるには、$\tanh z$ を $z^{11}$ まで用意する必要がある——ぱっと見の見積もりより 1 項多い。ここが最も切り詰められやすい段階である。

3. 3

   $z=10^{-13}x$ を代入する。 $z^{m}$ ごとに因子 $10^{-13m}$ が出る。

   $\tanh(10^{-13}x)=10^{-13}x-\frac{10^{-39}}{3}x^{3}+\frac{2\cdot 10^{-65}}{15}x^{5}-\frac{17\cdot 10^{-91}}{315}x^{7}+\frac{62\cdot 10^{-117}}{2835}x^{9}-\frac{1382\cdot 10^{-143}}{155925}x^{11}+\cdots$

4. 4

   項ごとに $x$ で割る。 指数がすべて 1 つ下がり、奇数次が偶数次に変わる。

   $\frac{\tanh(10^{-13}x)}{x}=10^{-13}-\frac{10^{-39}}{3}x^{2}+\frac{2\cdot 10^{-65}}{15}x^{4}-\frac{17\cdot 10^{-91}}{315}x^{6}+\frac{62\cdot 10^{-117}}{2835}x^{8}-\frac{1382\cdot 10^{-143}}{155925}x^{10}+\cdots$

   この級数には奇数次の項がまったくなく、$x=0$ における除去可能な特異点は定数 $10^{-13}$ で埋められる。

5. 5

   微小なパラメータが何をしているかを読み取る。 隣り合う項はおよそ $10^{-26}x^{2}$ の割合で小さくなるので、$|x|$ が $10^{13}$ のオーダーでない限り、この関数は数値的には定数 $10^{-13}$ と区別がつかない。それがこの展開の実用上の意味である。級数は $|10^{-13}x|<\pi/2$、すなわち $|x|<1.5708\times 10^{13}$ で収束し、これはちょうど $\tanh$ の最も近い特異点 $z=i\pi/2$ の位置に対応する。