f(x) = x³ − 3x² + 2x を微分し、x³ が 3x² になる理由を説明せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   べき乗の公式を述べ、それが何をしているのかを読む。 定数の指数 $n$ に対して

   $\frac{d}{dx}\left(x^{n}\right)=n\,x^{n-1}$

   が成り立つ。ここでは 2 つのことが同時に起こる。指数が前に下りて掛け算の係数になり、指数が 1 減る。この一文だけで、多くの人がつまずく $x^{3}\to 3x^{2}$ の段階は説明がつく。

2. 2

   3 次の項を微分する。 $n=3$ として：

   $\frac{d}{dx}\left(x^{3}\right)=3x^{3-1}=3x^{2}$

   この $3$ はどこからか湧いたものではない——もとの指数が係数の位置に移動しただけである。

3. 3

   2 次の項を、係数を外に置いたまま微分する。 定数は微分をそのまま通り抜けるので

   $\frac{d}{dx}\left(-3x^{2}\right)=-3\cdot\frac{d}{dx}\left(x^{2}\right)=-3(2x)=-6x$

4. 4

   1 次の項を微分する。 ここでは $n=1$ なので $x^{1}\to 1\cdot x^{0}=1$ となり

   $\frac{d}{dx}\left(2x\right)=2\cdot 1=2$

   である。1 次の項はつねに自分の傾きだけを残す。

5. 5

   微分の線形性を使って 3 つを足す。

   $f'(x)=3x^{2}-6x+2$

6. 6

   1 点で数値検算する。 $h=10^{-6}$ とした $x=2$ での中心差分は $\dfrac{f(2+h)-f(2-h)}{2h}\approx 2.000000$ を与え、公式からは $3(4)-6(2)+2=2$ である。同じ確認を $x=-1$ で行うと $\approx 11.000000$ で、$3+6+2=11$ と合う。