微分方程式 y'' + y = 12 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   問題を 2 つに分ける。 定数係数の線形方程式では、一般解は $y=y_h+y_p$ という形になる。すなわち斉次方程式の一般解に、元の方程式の特殊解を 1 つ足したものである。どちらの部分も欠かせない——$y_p$ を落としても、任意定数を落としても、答えは誤りになる。

2. 2

   斉次方程式を解く。 右辺を 0 とおいて $y=e^{rx}$ を試すと、特性方程式

   $r^2+1=0\qquad\Longrightarrow\qquad r=\pm i$

   が得られる。純虚数の共役な組 $\pm i\beta$ は減衰のない振動に対応するので

   $y_h=C_1\cos x+C_2\sin x$

   となる。

3. 3

   特殊解の試行関数を選ぶ。 右辺は定数 $12$ なので、定数 $y_p=A$ を試す。定数の導関数は 0 なので $y_p''=0$ となり、代入すると

   $0+A=12\qquad\Longrightarrow\qquad A=12$

   すなわち $y_p=12$ である。（これがうまくいくのは $r=0$ が特性方程式の解ではないからである。もし解であれば、試行解に $x$ の因子を余分に掛ける必要があった。）

4. 4

   一般解を組み立てる。

   $y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x+12$

5. 5

   答えの意味を読む。 この解は、平衡の水準 $y=12$ のまわりを周期 $2\pi$、振幅 $\sqrt{C_1^2+C_2^2}$ で振動する。この $12$ は定数の外力が課す定常状態である。斉次部分が揺れを、特殊部分が中心線を与えている。

6. 6

   代入して検算する。 $y=C_1\cos x+C_2\sin x+12$ とすると $y''=-C_1\cos x-C_2\sin x$ なので

   $y''+y=\left(-C_1\cos x-C_2\sin x\right)+\left(C_1\cos x+C_2\sin x+12\right)=12\ \checkmark$

   となる。数値でも $C_1=1.3$、$C_2=-0.7$ として刻み幅 $10^{-4}$ の中心差分を使うと、$x=0.2,\ 1.5,\ -1.1$ のいずれでも $y''+y=12.000$ が得られる ✓。