5 y^(2/5) の y についての積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   定数を外に出す。 数の因子はそのまま積分をすり抜ける：

   $\int 5y^{2/5}\,dy=5\int y^{2/5}\,dy$

2. 2

   積分のべき乗則を適用する。 $n\neq -1$のとき：

   $\int y^n\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}+C$

   ここでは$n=\tfrac25$であり、除外される値$-1$から十分に離れているのでこの公式が使える。

3. 3

   指数に1を足す。 分母を$5$にそろえると：

   $\frac{2}{5}+1=\frac{2}{5}+\frac{5}{5}=\frac{7}{5}$

   $\int y^{2/5}\,dy=\frac{y^{7/5}}{7/5}$

4. 4

   分数での割り算を掛け算に直す。 $\tfrac75$で割ることは$\tfrac57$を掛けることである：

   $5\cdot\frac{5}{7}y^{7/5}=\frac{25}{7}y^{7/5}$

   したがって原始関数は$\tfrac{25}{7}y^{7/5}+C$である。

5. 5

   微分して確かめる。 導関数は被積分関数を再現しなければならない：

   $\frac{d}{dy}\left(\frac{25}{7}y^{7/5}\right)=\frac{25}{7}\cdot\frac{7}{5}y^{2/5}=5y^{2/5}\qquad\checkmark$

   数値でも$y=2$のとき導関数は$5\cdot 2^{0.4}\approx 6.5975$となり、原始関数の数値差分商と一致する$\checkmark$。