x = 0 から 1、y = x から √(2 − x²) までの x/√(x² + y²) dy dx の積分を、積分順序を入れ替えて求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   領域を描く。 範囲は $0\le x\le 1$ かつ $x\le y\le\sqrt{2-x^2}$ である。つまり領域は直線 $y=x$ の上、円 $x^2+y^2=2$ の内側、$x=1$ の左側にある。直線と円は $(1,1)$ で交わるので、領域は $(0,0)$、$(0,\sqrt2)$、$(1,1)$ を角に持つ曲線的なくさびである。

2. 2

   慎重に順序を入れ替える——領域は 2 つの切片に分かれる。 $y$ を固定すると左端はつねに $x=0$ である。$0\le y\le 1$ では右端は直線 $x=y$、$1\le y\le\sqrt2$ では右端は円 $x=\sqrt{2-y^2}$ になる。よって $I=\int_0^1\!\!\int_0^{y}\frac{x\,dx}{\sqrt{x^2+y^2}}\,dy+\int_1^{\sqrt2}\!\!\int_0^{\sqrt{2-y^2}}\frac{x\,dx}{\sqrt{x^2+y^2}}\,dy.$ $x$ を $y$ から $\sqrt{2-y^2}$ までとする 1 本の切片で書いてしまうと、それは $y=x$ の下の領域を表すことになる。これがこの問題の定番の落とし穴である。

3. 3

   内側の積分を一度で片づける。 $u=x^2+y^2$、$du=2x\,dx$ とすると $\int\frac{x\,dx}{\sqrt{x^2+y^2}}=\sqrt{x^2+y^2}.$

4. 4

   2 つの切片を評価する。 1 つ目の切片：$\left[\sqrt{x^2+y^2}\right]_0^{y}=\sqrt2\,y-y$ なので $\int_0^1(\sqrt2-1)y\,dy=\dfrac{\sqrt2-1}{2}$。2 つ目の切片：$\left[\sqrt{x^2+y^2}\right]_0^{\sqrt{2-y^2}}=\sqrt2-y$ なので $\int_1^{\sqrt2}(\sqrt2-y)\,dy=2-\sqrt2-\dfrac12$。

5. 5

   足す。 $I=\frac{\sqrt2-1}{2}+\left(\frac32-\sqrt2\right)=1-\frac{\sqrt2}{2}\approx 0.292893.$

6. 6

   極座標で確認する。 $x=\rho\cos\theta$ とすると被積分関数はただの $\cos\theta$ になり、$dA=\rho\,d\rho\,d\theta$ である。$\tfrac\pi4\le\theta\le\tfrac\pi2$ では制約 $x\le 1$ は効かない（$\sec\theta\ge\sqrt2$ だから）ので、$\rho$ は $0$ から $\sqrt2$ まで動く： $\int_{\pi/4}^{\pi/2}\!\!\int_0^{\sqrt2}\cos\theta\,\rho\,d\rho\,d\theta=\bigl[\sin\theta\bigr]_{\pi/4}^{\pi/2}=1-\frac{\sqrt2}{2}.$