x → −2 のときの (4 − x²)/(2x² + x³) の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   代入して試す。 $x=-2$では分子が$4-4=0$、分母が$8-8=0$なので形は$\frac{0}{0}$であり、共通因子があるはずである。

2. 2

   分子を因数分解する。 2乗の差として$4-x^2=(2-x)(2+x)$となる。順序に注意したい：$-(x-2)(x+2)$と書いても同値だが、そちらは符号を誤りやすい。

3. 3

   分母を因数分解する。 共通の$x^2$をくくり出して$2x^2+x^3=x^2(2+x)$。

4. 4

   共通因子を約分する。 $x\neq -2$では商は$\frac{(2-x)(2+x)}{x^2(2+x)}=\frac{2-x}{x^2}$に等しく、$x=-2$という点そのものは極限には関係しない。

5. 5

   簡約した式に代入する。 $\frac{2-(-2)}{(-2)^2}=\frac{4}{4}=1$。

6. 6

   結果を解釈する。 もとの関数は$x=-2$で除去可能な不連続点をもつ：そこに値$1$を補えば連続になる。