球面 z = √(1 − x² − y²) と円錐 z = √(x² + y²) で囲まれた領域上で、z² の三重積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   立体を特定する。 球面の式を 2 乗すると $z\ge 0$ のもとで $x^2+y^2+z^2=1$、すなわち単位球の上半分になる。円錐は円柱座標では $z=r$ である。領域は半球の内側かつ円錐の上側にある、アイスクリームコーン形の立体である。

2. 2

   2 つの曲面の交線を求める。 $r=\sqrt{1-r^2}$ とおくと $2r^2=1$ なので $r=\tfrac{1}{\sqrt2}$、$z=\tfrac{1}{\sqrt2}$ である。これで動径方向の範囲が定まる。

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   円柱座標で立式する。 $dV=r\,dz\,dr\,d\theta$ として $\iiint_\Omega z^2\,dV=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{1/\sqrt2}\!\!\int_r^{\sqrt{1-r^2}}z^2r\,dz\,dr\,d\theta.$ ここでは円錐と球面がきれいな $z$ の限界を与えるので、球座標より円柱座標の方が有利である。

4. 4

   $z$ について積分し、$\theta$ を落とす。 $\int_r^{\sqrt{1-r^2}}z^2r\,dz=\frac{r}{3}\Bigl[(1-r^2)^{3/2}-r^3\Bigr],$ となり、被積分関数は $\theta$ に依存しないので $\theta$ の積分は因子 $2\pi$ を与える。

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   動径方向の 2 つの積分を行う。 $u=1-r^2$ とおくと $\int_0^{1/\sqrt2}r(1-r^2)^{3/2}\,dr=\frac12\int_{1/2}^{1}u^{3/2}\,du=\frac15\left(1-\frac{1}{4\sqrt2}\right),$ また $\int_0^{1/\sqrt2}r^4\,dr=\frac15\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^{5}=\frac{1}{20\sqrt2}.$

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   まとめる。 括弧の中は $\tfrac15-\tfrac{1}{20\sqrt2}-\tfrac{1}{20\sqrt2}=\tfrac15-\tfrac{1}{10\sqrt2}$ なので $\iiint_\Omega z^2\,dV=\frac{2\pi}{3}\left(\frac15-\frac{1}{10\sqrt2}\right)=\frac{\pi}{15}\left(2-\frac{1}{\sqrt2}\right)=\frac{\pi(4-\sqrt2)}{30}.$ 数値では $0.270783$ となり、もとの積分の直接的な数値求積と一致する。