a を定数として、微分方程式 dx/dy = a * x^(2/3) を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   変数を分離する。 両辺を $x^{2/3}$ で割り $dy$ を掛けると、それぞれの変数が自分の微分と組になる。

   $x^{-2/3}\,dx=a\,dy.$

   $x^{2/3}$ で割ってよいのは $x\ne0$ のときだけである——場合 $x=0$ は別に調べねばならず、実際ここではそれが効いてくる。

2. 2

   左辺を冪の法則で積分する。 $n=-\tfrac23$ なので新しい指数は $n+1=\tfrac13$ である。

   $\int x^{-2/3}\,dx=\frac{x^{1/3}}{1/3}=3x^{1/3}.$

   $\tfrac13$ で割ることは $3$ を掛けることであり、これがのちに $\tfrac{a}{3}$ となる因子の出どころである。

3. 3

   右辺を積分してまとめる。 $a$ は定数なので $\int a\,dy=ay$ であり

   $3x^{1/3}=ay+C.$

   となる。1 階の方程式なので任意定数は 1 つで足りる。

4. 4

   $x$ について陽に解く。 $3$ で割り、定数を吸収する。

   $x^{1/3}=\frac{a}{3}y+C_{1}\;\Longrightarrow\;x=\left(\frac{a}{3}y+C_{1}\right)^{3}.$

   3 乗するのに $\pm$ の曖昧さは生じない。3 乗関数は実数上で 1 対 1 だからであり、2 乗とは事情が異なる。

5. 5

   特異解を加えて検証する。 定数関数 $x\equiv0$ は方程式を満たす（$\frac{dx}{dy}=0$ かつ $a\cdot0^{2/3}=0$）が、有限の $C_{1}$ ではどの一般形にも当たらないので、本物の特異解である。またこれは解の一意性が破れる標準的な例にもなっている。点 $x=0$ を通る解として $x\equiv0$ と $x=\left(\tfrac{a}{3}y\right)^{3}$ の両方が存在するのは、$x^{2/3}$ が $0$ でリプシッツ条件を満たさないからである。$a=1.7$、$C_{1}=0.4$、$y=1.1$ での数値確認では $\frac{dx}{dy}=1.7802589$、$ax^{2/3}=1.7802589$ で一致する ✓。