x = −2 から x = 2 までの、(x^3 cos(x/2) + 1/2) に (4 − x^2) の平方根を掛けたものの定積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   原始関数を探す前に積分を分ける。 因子 $x^{3}\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}}$ には初等的な原始関数がないので、置換積分や部分積分を試みても行き詰まる。積分区間が $0$ について対称なので、代わりに次のように分ける：

   $\int_{-2}^{2}x^{3}\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx+\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx.$

2. 2

   第1項を偶奇で分類する。 $x^{3}$ は奇関数、$\cos\frac{x}{2}$ は偶関数、$\sqrt{4-x^{2}}$ も偶関数である。奇 $\times$ 偶 $\times$ 偶 は奇なので、被積分関数全体が $f(-x)=-f(x)$ を満たす。対称な区間では奇関数の積分はつねに $0$ になる。$[-2,0]$ 上の符号付き面積が $[0,2]$ 上の符号付き面積をちょうど打ち消すからである：

   $\int_{-2}^{2}x^{3}\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx=0.$

   これがこの問題の核心で、いかにも難しそうな項は囮である。

3. 3

   第2項を半円と見抜く。 曲線 $y=\sqrt{4-x^{2}}$ は $y\ge 0$ のもとで $x^{2}+y^{2}=4$ と同値であり、半径 $2$ の円の上半分である。つまりこの積分は原始関数を求めるものではなく、幾何的な面積である：

   $\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\pi r^{2}=\frac{1}{2}\pi(2)^{2}=2\pi.$

4. 4

   組み直す。 半円の面積に定数 $\tfrac12$ を掛け、消えた奇関数の部分を足すと：

   $\int_{-2}^{2}\left(x^{3}\cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\right)\sqrt{4-x^{2}}\,dx=0+\frac{1}{2}(2\pi)=\pi.$

5. 5

   数値で確かめる。 $[-2,2]$ 上で複合シンプソン則を使うと、被積分関数全体では $3.1415926$、奇関数の部分だけでは $2\times10^{-16}$ となり、厳密値 $\pi\approx 3.14159$ と打ち消しの議論の両方が確認できる。