ある車の時刻 t における加速度は a(t) = t^2 - 2t + 3 メートル毎秒毎秒である。t = 1 での速度が 8 メートル毎秒のとき、t = 3 での速度を求めよ。

Step-by-step solution

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   加速度と速度の関係を使う。 加速度は速度の導関数 $a(t)=v'(t)$ なので、微積分学の基本定理により区間上の速度の 変化量 は $a$ の定積分に等しい。

   $v(3)-v(1)=\int_1^3 a(t)\,dt$

   （未知の定数を含む $v$ を求めるのではなく）変化量で扱うことで、初期条件を最後にきれいに使える。

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   多項式の原始関数を項ごとに求める。

   $\int\left(t^2-2t+3\right)dt=\frac{t^3}{3}-t^2+3t$

   この原始関数は上端と下端で評価されるので、積分定数は不要である。

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   上端 $t=3$ で評価する。

   $\frac{27}{3}-9+9=9$

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   下端 $t=1$ で評価する。

   $\frac{1}{3}-1+3=\frac{1}{3}+2=\frac{7}{3}$

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   引いて速度の変化量を得る。

   $\int_1^3 a(t)\,dt=9-\frac{7}{3}=\frac{27-7}{3}=\frac{20}{3}\ \text{m/s}$

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   初速度を加える。

   $v(3)=v(1)+\frac{20}{3}=8+\frac{20}{3}=\frac{24+20}{3}=\frac{44}{3}\approx 14.67\ \text{m/s}$

   妥当性の簡単な確認：$[1,3]$ 上で $a(t)$ は $2$ と $6$ の間にとどまるので、速度の増分は $4$ から $12$ m/s の間になければならない。$\tfrac{20}{3}\approx 6.67$ はその範囲にある。