x → ∞ のときの (1 − cos2x)/(2x) の極限を求めよ。

Step-by-step solution

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   分子が決して落ち着かないことに気づく。 $x\to\infty$のとき$\cos 2x$は$-1$と$1$の間をいつまでも振動し続けるので、$1-\cos 2x$には極限が存在しない。したがって分数を分けることもロピタルの定理を使うこともできない——しかし分子が有界にとどまるので、商全体が収束することは妨げられない。

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   分子を評価で挟む。 $-1\le\cos 2x\le 1$から、すべての実数$x$について$0\le 1-\cos 2x\le 2$が得られる。これが鍵となる不等式である：有界な分子を、限りなく大きくなる分母で割っている形なのである。

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   正の分母で不等式を割る。 $x>0$では$2x>0$なので、割っても両方の不等号の向きは保たれる：$0\le\frac{1-\cos 2x}{2x}\le\frac{2}{2x}=\frac{1}{x}.$

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   はさみうちの原理を適用する。 両側の評価はどちらも同じ値に向かう：$\lim_{x\to\infty}0=0$、$\lim_{x\to\infty}\tfrac1x=0$。同じ極限をもつ2つのものに挟まれた関数は、その極限を共有しなければならない。よって$\lim_{x\to\infty}\frac{1-\cos 2x}{2x}=0.$

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   具体的な値で確認する。 $x=1000$では分子は最大でも$2$なので商はたかだか$2/2000=0.001$、$x=10^6$ではたかだか$10^{-6}$である。上からの評価そのものが$0$に潰れていくことが、この答えを決めている。