直線上を動く点の速度が v(t) = t² + t（m/s）である。t = 1 から t = 2 秒までの変位を求めよ。

Step-by-step solution

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   変位と速度の関係を確認する。 $[a,b]$ における変位は定積分 $\int_a^b v(t)\,dt$ である。これは位置の正味の変化であり、$v=\frac{ds}{dt}$ の逆の操作にあたる。

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   速度の符号を調べる。 $[1,2]$ では $t^2$ も $t$ も正なので、全体を通じて $v(t)>0$ である。点は向きを変えないので、ここでは変位と実際に進んだ道のりが一致する。

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   積分を書く。 変位 $=\displaystyle\int_1^2\left(t^2+t\right)dt$。

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   原始関数を求める。 $\int\left(t^2+t\right)dt=\frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{2}$。

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   端点で評価する。 $t=2$ では $\frac{8}{3}+2=\frac{14}{3}$、$t=1$ では $\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$。引き算して $\frac{28}{6}-\frac{5}{6}=\frac{23}{6}$。

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   単位をつけて答える。 変位は $\frac{23}{6}\approx 3.833$ メートルであり、$[1,2]$ 上で $t^2+t$ を数値求積しても $3.8333$ が再現される。