微分方程式 d/dx(dy/dx) = e^y、すなわち y'' = e^y を解け。

Step-by-step solution

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   この方程式が自励系であることを見抜く。 独立変数 $x$ が陽には現れず、出てくるのは $y$ とその導関数だけである。この種の方程式に対する定石は、$x$ ではなく $y$ を独立変数にすることであり、これで階数が 2 から 1 に下がる。

2. 2

   $v=y'$ と置き、$y$ についての連鎖律を使う。 $v$ を $y$ の関数と見ると

   $y''=\frac{dv}{dx}=\frac{dv}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=v\frac{dv}{dy}.$

   となる。方程式は1 階の変数分離形

   $v\frac{dv}{dy}=e^{y}.$

   になる。この $v\,\frac{dv}{dy}$ という等式が技法のすべてである。これがないと、置換 $v=y'$ をしても変数が 3 つ残ってしまう。

3. 3

   変数分離して積分し、第一積分を得る。 $v\,dv=e^{y}\,dy$ より

   $\frac{v^{2}}{2}=e^{y}+C\;\Longrightarrow\;\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}=2e^{y}+C_{1}.$

   これは保存量であり、力学の対応物はポテンシャル $-e^{y}$ の中の粒子のエネルギー保存である。平方根を取ると

   $\frac{dy}{dx}=\pm\sqrt{2e^{y}+C_{1}}.$

   となる。

4. 4

   もう一度変数分離する。 残った方程式は $y$ と $x$ について分離できる。

   $\int\frac{dy}{\sqrt{2e^{y}+C_{1}}}=\pm x+C_{2}.$

   $C_{1}=k>0$ のとき、置換 $u=e^{y}$ により左辺は $\int\frac{du}{u\sqrt{2u+k}}$ という標準形になり、これは

   $\frac{1}{\sqrt{k}}\ln\left|\frac{\sqrt{2e^{y}+k}-\sqrt{k}}{\sqrt{2e^{y}+k}+\sqrt{k}}\right|=\pm x+C_{2}.$

   と評価される。

5. 5

   逆に解いて明示的な解にする。 この対数の関係を $y$ について解くと、代数が双曲線正弦にまとまる。

   $y=\ln\!\frac{C_{1}}{2}-2\ln\left|\sinh\!\left(\frac{\sqrt{C_{1}}\,(x-x_{0})}{2}\right)\right|,\qquad C_{1}>0,$

   ここで $x_{0}$ が $C_{2}$ を吸収している。退化した場合 $C_{1}=0$ はもっと簡単で、別に挙げておく価値がある。

   $y=-2\ln\left|c-\frac{x}{\sqrt2}\right|.$

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   両方の形を数値で検証する。 $C_{1}=1.5$、$x_{0}=0.3$ とすると、$x=1.4$ での $y''$ の 2 階差分による推定値は $1.42404$ で $e^{y}=1.42404$ と一致し ✓、$x=2.2$ では $0.35950$ に対し $0.35950$ で一致する ✓。$C_{1}=0$ の分岐で $c=3$ とすると、$x=1$ において $y''=0.190210$、$e^{y}=0.190210$ である ✓。どちらの解も対数の引数が 0 になるところで発散するが、これは本物の発散である——解は有限の $x$ で無限大に達する。