f(x) = sqrt(9x^2 - 6x + 3) のグラフが x → 正の無限大 で斜め漸近線をもつことを示し、その方程式を求め、曲線がその上側にあるか下側にあるかを判定せよ。

Step-by-step solution

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   まず無限大での振る舞いを確認する。 根号の中身 $9x^2-6x+3$ は最高次の係数が正で判別式が $36-108=-72<0$ なので、すべての実数 $x$ で正であり、$f$ は $\mathbb{R}$ 全体で定義される。$x\to+\infty$ では中身が $\to+\infty$ なので $f(x)\to+\infty$ であり、グラフは上方へ逃げていく。したがってあり得る漸近線は斜めの直線だけである。

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   根号の中を平方完成する。 $x$ の項から $9$ をくくり出すと：

   $9x^2-6x+3=9\left(x^2-\frac{2}{3}x\right)+3=9\left(x-\frac{1}{3}\right)^2-1+3$

   であり、$9\left(x-\tfrac13\right)^2=(3x-1)^2$ なので

   $9x^2-6x+3=(3x-1)^2+2$

   となる。この標準形が決め手で、根号の中に隠れていた1次関数が露わになる。

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   標準形から漸近線を予想する。

   $f(x)=\sqrt{(3x-1)^2+2}$

   と書くと、$x$ が大きいとき $+2$ は $(3x-1)^2$ に比べて無視できるので、$x>\tfrac13$ では $f(x)\approx|3x-1|=3x-1$ である。したがって漸近線の候補は

   $\Delta:\ y=3x-1$

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   共役をかける手法で証明する。 $h(x)=f(x)-(3x-1)$ と置く。これは $\infty-\infty$ の形なので、共役を掛けて割る：

   $h(x)=\frac{\left[(3x-1)^2+2\right]-(3x-1)^2}{\sqrt{(3x-1)^2+2}+(3x-1)}=\frac{2}{\sqrt{(3x-1)^2+2}+(3x-1)}$

   分子は定数 $2$ のまま、分母は $\to+\infty$ なので、

   $\lim_{x\to+\infty}\bigl[f(x)-(3x-1)\bigr]=0$

   となる。これはまさに $y=3x-1$ が $+\infty$ において $C$ の漸近線であることの定義である。

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   $h$ の符号から曲線の位置を読む。 $x>\tfrac13$ では分母の2つの項がどちらも正なので、

   $h(x)=\frac{2}{\sqrt{(3x-1)^2+2}+(3x-1)}>0$

   である。したがって $f(x)>3x-1$ であり、曲線は漸近線の上側にあって上から近づき、決して接することはない。

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   まとめと、もう一方の端について。

   $\boxed{y=3x-1\ \text{ が }+\infty\ \text{ での漸近線であり、C は }\Delta \text{ の上側}}$

   数値で見ると $f(10)-29=0.0345$、$f(10^4)-29999=3.33\times 10^{-5}$ で、$\tfrac{1}{3x}$ のように縮んでいく。$|3x-1|=1-3x$ として同じ計算をすれば、$-\infty$ での漸近線は $y=-3x+1$ で、やはり曲線はその上側にある。