x が −1 から 1、y が 0 から sqrt(9 − x^2)、z が 0 から 9 − x^2 − y^2 の範囲で −5y の三重積分を求めよ。厳密値で答えよ。

Step-by-step solution

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   被積分関数に z が含まれないので、まず z について積分する。 $-5y$ は $z$ に関して定数なので、内側の積分は被積分関数に柱の高さを掛けたものにすぎない。$\int_0^{9-x^2-y^2}(-5y)\,dz=-5y\left(9-x^2-y^2\right)$。

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   x に依存する半径に略記号を導入する。 $a^2=9-x^2$ とおくと $y$ の範囲は $0$ から $a$ までとなり、被積分関数は $-5y(a^2-y^2)=-5\left(a^2y-y^3\right)$ になる。$a$ と名づけることで式が読みやすくなり、$y$ の積分がきれいな形になる理由も見えてくる。

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   y について積分する。 $\int_0^{a}\left(a^2y-y^3\right)dy=\frac{a^2\cdot a^2}{2}-\frac{a^4}{4}=\frac{a^4}{4}$ なので、内側 2 段の結果は $-\frac{5a^4}{4}=-\frac54\left(9-x^2\right)^2$ となる。

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   展開して x に関する偶関数性を使う。 $\left(9-x^2\right)^2=81-18x^2+x^4$ は偶関数なので $\int_{-1}^{1}=2\int_{0}^{1}$ である。外側の積分は $-\frac54\cdot 2\int_0^1\left(81-18x^2+x^4\right)dx$ となる。

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   最後の積分を計算する。 $\int_0^1\left(81-18x^2+x^4\right)dx=\left[81x-6x^3+\frac{x^5}{5}\right]_0^1=81-6+\frac15=\frac{376}{5}$。

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   まとめて厳密値を得る。 $-\frac54\cdot 2\cdot\frac{376}{5}=-\frac52\cdot\frac{376}{5}=-188$。

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   数値による確認。 もとの三重積分を適応型の数値積分で計算すると $-188.000000$（推定誤差 $2\times10^{-12}$）が返り、厳密値と一致する。