累次積分を求めよ：x = 0 から 1 までの x についての積分で、内側は y = x から y = √(1 − x²) + 1 までの y dy の積分である。

Step-by-step solution

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   $x$を定数とみて内側の積分を実行する。 被積分関数は$y$そのものなので、

   $\int_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}+1}y\,dy=\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}+1}=\frac12\Bigl(\bigl(\sqrt{1-x^{2}}+1\bigr)^{2}-x^{2}\Bigr).$

   展開する前に、$[0,1]$上で積分区間の向きが正しいことを確認しておく：上端$\sqrt{1-x^{2}}+1$は$1$以上、下端$x$は$1$以下なので、領域はつぶれていない。

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   平方を展開する——$\sqrt{\;}$が生き残るのはここである。

   $\bigl(\sqrt{1-x^{2}}+1\bigr)^{2}=(1-x^{2})+2\sqrt{1-x^{2}}+1=2-x^{2}+2\sqrt{1-x^{2}}.$

   交差項$2\sqrt{1-x^{2}}$だけが非多項式の部分であり、それ以外はすべて初等的である。

3. 3

   内側の結果を整理する。

   $\frac12\Bigl(2-x^{2}+2\sqrt{1-x^{2}}-x^{2}\Bigr)=\frac12\Bigl(2-2x^{2}+2\sqrt{1-x^{2}}\Bigr)=1-x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}.$

   これで重積分は1変数の積分$\displaystyle\int_{0}^{1}\bigl(1-x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}\bigr)dx$になった。

4. 4

   分けてそれぞれを計算する。 初めの2つは即座に求まる：

   $\int_{0}^{1}1\,dx=1,\qquad \int_{0}^{1}x^{2}\,dx=\frac13.$

   3つ目については、$[0,1]$上で$y=\sqrt{1-x^{2}}$は単位円の第1象限の4分の1をなぞるので、その積分は4分円の面積$\pi/4$である——三角関数の置換は不要である。

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   まとめて検算する。

   $1-\frac13+\frac{\pi}{4}=\frac23+\frac{\pi}{4}.$

   数値では$2/3+\pi/4=1.4520648301$であり、$1-x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}$を$[0,1]$上で適応型数値積分すると$1.4520648301$が返る——小数第10位まで同じである。