F(x) は dx/(2x + 1) の不定積分で F(0) = 0 を満たす。このとき F((e^2 − 1)/2) を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   $u=2x+1$ と置換して積分する。 被積分関数は1次式の逆数なので、1次の置換で片づく：

   $u=2x+1,\qquad du=2\,dx,\qquad dx=\frac{du}{2}$

   $F(x)=\int\frac{1}{u}\cdot\frac{du}{2}=\frac{1}{2}\ln|u|+C=\frac{1}{2}\ln|2x+1|+C$

   係数 $\tfrac12$ は中身の微分を打ち消すために付くもので、これを落とすのがこの手の積分で最も多いミスである。

2. 2

   初期条件で積分定数を決める。 $x=0$ を代入すると：

   $F(0)=\frac{1}{2}\ln|1|+C=0+C$

   となり、$F(0)=0$ から

   $C=0\qquad\Longrightarrow\qquad F(x)=\frac{1}{2}\ln|2x+1|$

   が定まる。この条件があることで、原始関数の族全体がただ1つの関数に絞り込まれる。

3. 3

   代入する前に中身を整理する。 $x=\dfrac{e^2-1}{2}$ のとき、

   $2x+1=2\cdot\frac{e^2-1}{2}+1=(e^2-1)+1=e^2$

   見た目の悪い値は、$2x+1$ がちょうど $e^2$ に潰れるように作られている。対数の中身はまず整理すること。なお $e^2>0$ なので絶対値は外して差し支えない。

4. 4

   値を求める。 $\ln(e^2)=2$ を使うと：

   $F\!\left(\frac{e^2-1}{2}\right)=\frac{1}{2}\ln\left(e^2\right)=\frac{1}{2}\cdot 2=1$

   $\boxed{1}$

5. 5

   定積分として検算する。 $F(0)=0$ なので、答えは次の形にも書ける：

   $\int_0^{(e^2-1)/2}\frac{dx}{2x+1}=\left[\frac{1}{2}\ln(2x+1)\right]_0^{(e^2-1)/2}=\frac{1}{2}(2-0)=1$

   数値的には積分の上端が $\approx 3.1945$ で、$\tfrac12\ln(2\cdot 3.1945+1)=1.0000$ となり、値が確認できる。