x の x についての不定積分は x^2/2 か。理由を示して答えよ。

Step-by-step solution

1. 1

   原始関数のべきの公式を適用する。 $n\ne -1$ なる任意の指数について

   $\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

   が成り立つ。ここでは $x=x^{1}$ なので $n=1$ であり

   $\int x\,dx=\frac{x^{1+1}}{1+1}+C=\frac{x^{2}}{2}+C$

   となる。

2. 2

   候補を微分し返して検証する。 積分の検算はいつでも一方向、すなわち答えを微分することである。

   $\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{2}\right)=\frac{2x}{2}=x\ \checkmark$

   したがって $\dfrac{x^{2}}{2}$ は $x$ の原始関数である。示された式は誤りというより不完全なのである。

3. 3

   $+C$ を落とせない理由を見る。 微分は定数を消してしまうので、すべての 実数 $C$ について

   $\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{2}+C\right)=x$

   が成り立つ。たとえば $\tfrac{x^{2}}{2}$、$\tfrac{x^{2}}{2}+7$、$\tfrac{x^{2}}{2}-\tfrac{1}{3}$ はどれも微分すると $x$ になる。そのうち 1 つだけを「その」積分として書くのは、同じだけ正しい無数の答えを黙って切り捨てることになる。

4. 4

   $C$ がそのすべてを尽くすことを知る。 平均値の定理により、区間上で同じ関数の 2 つの原始関数は定数だけ違う。したがって族 $\tfrac{x^{2}}{2}+C$ は いくつかの 原始関数ではなく、$x$ の原始関数の すべて である。記号 $\int x\,dx$ が表しているのは、まさにそれである。

5. 5

   定数が本当に消える場面を押さえる。 定積分では定数が打ち消し合う。

   $\int_{0}^{3}x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}+C\right]_{0}^{3}=\left(\frac92+C\right)-\left(0+C\right)=\frac92$

   したがって不定積分では $+C$ を必ず書かねばならず、定積分では安心して無視してよい。