(x³ + 6) の x についての積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   線形性を使って2つの項に分ける。

   $\int\left(x^3+6\right)dx=\int x^3\,dx+\int 6\,dx$

2. 2

   べき乗則を述べ、$n=3$で適用する。

   $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\neq-1)$

   $\int x^3\,dx=\frac{x^{4}}{4}$

   指数は1つ上がる——下げてしまうのがよくある誤りだが、それは微分のパターンである。

3. 3

   定数項を積分する。

   $\int 6\,dx=6x$

4. 4

   一般の原始関数を書く。 積分定数は1つで一族全体を覆う：

   $\int\left(x^3+6\right)dx=\frac{x^4}{4}+6x+C$

5. 5

   微分して検証する。 $\tfrac{d}{dx}\left(\tfrac{x^4}{4}+6x\right)=x^3+6$ $\checkmark$。数値でも$x=1.1$のとき差分商は$7.331$となり、$1.1^3+6=7.331$である $\checkmark$。