f(x) = cos²x の原始関数を求めよ。また f′(x) も求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   2 乗を次数下げの公式で置き換える。 サインやコサインの 2 乗は冪の法則でそのまま積分できないが、1 次式に直せる：

   $\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$

   これは $\cos 2x=2\cos^2x-1$ を変形したもので、$\int\cos^2$ や $\int\sin^2$ における定石の第一手である。

2. 2

   得られた積分を分ける。

   $\int\cos^2 x\,dx=\frac{1}{2}\int 1\,dx+\frac{1}{2}\int\cos 2x\,dx$

3. 3

   それぞれを積分する。 2 つ目は内側の $2x$ に対する $\tfrac1k$ の因子が要る：

   $\frac{1}{2}\int 1\,dx=\frac{x}{2},\qquad\frac{1}{2}\int\cos 2x\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin 2x}{2}=\frac{\sin 2x}{4}$

   $\int\cos^2 x\,dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C$

4. 4

   合成関数の微分法で $f$ の導関数も求める。 $f(x)=(\cos x)^2$ と見ると：

   $f'(x)=2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\sin x\cos x=-\sin 2x$

   最後の変形では 2 倍角の公式 $\sin 2x=2\sin x\cos x$ を使っている。

5. 5

   原始関数を微分し直して検算する。

   $\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}\right)=\frac{1}{2}+\frac{2\cos 2x}{4}=\frac{1+\cos 2x}{2}=\cos^2 x\qquad\checkmark$

   数値でも、$x=0.9$ において原始関数の微分は $0.386399$、$\cos^2(0.9)=0.386399$ $\checkmark$。また主要項 $\tfrac{x}{2}$ は、1 周期にわたる $\cos^2$ の平均値 $\tfrac12$ とも整合している。