ln(x^2 + y^2) の x についての偏微分を求めよ。

Step-by-step solution

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   $y$ を定数として固定する。 $x$ についての偏微分とはまさにそういう意味であり、$y$ が現れるところはすべて決まった数のようにふるまう。したがって $y^2$ を微分すると $0$ になる。

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   対数に連鎖律を適用する。 $u=x^2+y^2$ とし、$\dfrac{d}{du}\ln u=\dfrac1u$ を使うと

   $\frac{\partial}{\partial x}\ln u=\frac{1}{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}$

   となる。内側の微分を忘れて $\tfrac{1}{x^2+y^2}$ だけを書いてしまうのが、ここでの定番の誤りである。

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   内側を $x$ で微分する。

   $\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2+y^2\right)=2x+0=2x$

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   2 つを組み合わせる。

   $\frac{\partial}{\partial x}\ln\left(x^2+y^2\right)=\frac{2x}{x^2+y^2}$

   式の対称性から、もう一方の偏微分は $\dfrac{\partial}{\partial y}=\dfrac{2y}{x^2+y^2}$ である——$x$ と $y$ の役割を入れ替えるだけでよい。

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   結果を検算する。 $y=0$ では関数は $\ln x^2=2\ln|x|$ に帰着し、その微分は $\tfrac{2}{x}$ である。公式からは $\tfrac{2x}{x^2}=\tfrac2x\;\checkmark$ が得られる。またこの偏微分は $x=0$ である $y$ 軸上で恒等的に消えるが、これは固定した $y\ne 0$ に対して $\ln\left(x^2+y^2\right)$ がそこで $x$ に関する最小値をとることと合っている。原点では関数自体が定義されないので、微分も定義されない。