x→∞ のときの sin(x) の極限を求めよ。存在しない場合はそのことを示せ。

Step-by-step solution

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   極限が成り立つとはどういうことかを思い出す。 $\lim_{x\to\infty}\sin x=L$ と言うためには、任意の許容誤差 $\varepsilon>0$ に対してある $M$ が存在して、$x>M$ を満たすすべての $x$ について $|\sin x-L|<\varepsilon$ となる必要がある。したがって、大きな値からなる数列が 1 つでも悪さをすれば、その主張は崩れる。

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   有界であることだけでは足りない。 この関数はすべての $x$ について $-1\le\sin x\le1$ を満たすので、無限大へ飛んでいくことはない。しかし有界であることは収束を意味しない——有界な関数はいつまでも振動しうるし、ここで起きているのはまさにそれである。

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   極限の異なる 2 つの部分列を作る。 次のようにとる。

   $x_{n}=\frac{\pi}{2}+2\pi n\ \Rightarrow\ \sin x_{n}=1,\qquad y_{n}=\frac{3\pi}{2}+2\pi n\ \Rightarrow\ \sin y_{n}=-1.$

   $n\to\infty$ のとき $x_{n}\to\infty$ も $y_{n}\to\infty$ も成り立つが、関数値は $1$ と $-1$ に留まり続ける。

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   極限が存在しないと結論する。 もし極限がある数 $L$ であるなら、無限大へ向かうすべての数列について関数値が $L$ に近づかなければならない。ここでは一方が $1$ を、もう一方が $-1$ を与え、$1\ne-1$ である。したがってそのような $L$ は存在しない。

   $\lim_{x\to\infty}\sin x\ \text{は存在しない。}$

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   「極限が無限大に等しい」場合と区別する。 極限が失われ方は 2 通りある。限りなく大きくなる場合（$\lim_{x\to\infty}x^{2}=\infty$ のように）と、振動する場合（ここがそれ）である。$\sin x$ に当てはまるのは後者だけである。なお減衰させた形なら収束する——$\left|\frac{\sin x}{x}\right|\le\frac1x$ なので、はさみうちの原理により $\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=0$ となる——つまり原因は正弦そのものではなく、引数が限りなく大きくなりながら振動を続けることにある。