x → ∞ のときの (2x − 3)/(x² + 3x) の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   計算する前に次数を確認する。 分子の次数は$1$、分母は$2$である。有理関数では、分子の次数のほうが低いとき無限大での極限は$0$になり、次数が等しければ最高次係数の比、分子の次数のほうが高ければ$\pm\infty$になる。この問題は最初の場合であり、以下の計算はそれを実際に示すだけである。

2. 2

   分子と分母を、分母の最高次である$x^{2}$で割る。

   $\frac{2x-3}{x^{2}+3x}=\frac{\frac{2x}{x^{2}}-\frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{3x}{x^{2}}}=\frac{\frac{2}{x}-\frac{3}{x^{2}}}{1+\frac{3}{x}}$

   $x$ではなく$x^2$で割ることが、分母が0でない定数に落ち着くことを保証している。

3. 3

   逆数のべきをそれぞれ0に飛ばす。 $x\to\infty$のとき、

   $\frac{2}{x}\to 0,\qquad\frac{3}{x^{2}}\to 0,\qquad\frac{3}{x}\to 0$

4. 4

   極限を組み立てる。

   $\frac{0-0}{1+0}=\frac{0}{1}=0$

   分母が$0$ではなく$1$に向かうからこそ、これは新たな不定形ではなく正当な評価になる。

5. 5

   結果をグラフとして解釈する。 この極限は、曲線$y=\dfrac{2x-3}{x^{2}+3x}$が水平漸近線$y=0$をもつことを意味する。数値では$x=1000$で$0.00199$、$x=10^{6}$で$0.0000020$であり、$2/x$のように減衰している ✓。