x が 0 から 2、y が 2x の平方根から 2 までの e^(y^3) の重積分について、積分順序を交換して値を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   このままの順序では行き詰まる理由を見る。 内側の積分は $\int e^{y^3}\,dy$ を求めよと言っているが、$e^{y^3}$ には初等的な原始関数がない。順序の交換はここでは好みの問題ではなく唯一の道である。先に $x$ で積分すると余分な因子 $y^2$ が出てきて、それがまさに置換 $u=y^3$ に必要なものだからである。

2. 2

   積分範囲から領域を読み取る。 範囲は $0\le x\le 2$ かつ $\sqrt{2x}\le y\le 2$ である。下側の境界 $y=\sqrt{2x}$ は放物線 $y^2=2x$ の右半分、すなわち $x=\dfrac{y^2}{2}$ である。$x=2$ では下限がすでに上限 $y=2$ に等しくなり、そこで領域が閉じることに注意する。

3. 3

   横向きに切り直す。 $0$ から $2$ の間の $y$ を固定すると、領域は左端 $x=0$ から放物線 $x=\dfrac{y^2}{2}$ まで広がる。したがって

   $R=\left\{(x,y):0\le y\le 2,\ 0\le x\le \tfrac{y^2}{2}\right\},\qquad \int_0^2\!\!\int_0^{y^2/2} e^{y^3}\,dx\,dy.$

4. 4

   内側の積分を実行する。 $e^{y^3}$ は $x$ については定数なので、切り口の幅を掛けるだけになる：

   $\int_0^{y^2/2}e^{y^3}\,dx=\frac{y^2}{2}\,e^{y^3}.$

5. 5

   $u=y^3$ と置換する。 $du=3y^2\,dy$ なので $y^2\,dy=\tfrac{du}{3}$ であり、$y=0,2$ は $u=0,8$ に対応する：

   $\int_0^2\frac{y^2}{2}e^{y^3}\,dy=\frac{1}{6}\int_0^8 e^{u}\,du=\frac{1}{6}\left[e^u\right]_0^8=\frac{e^8-1}{6}.$

6. 6

   大きさを確かめる。 $\dfrac{e^8-1}{6}\approx 496.66$ であり、もとの累次積分を直接数値計算しても $496.66$ となる。したがって順序の交換で領域が正しく保たれている。