極限を求めよ：(1) x → 3 のときの √(x^2 + 6x - 2)、(2) x → 3 のときの (x^2 + 2x - 15)/(x - 3)、(3) x → 4 のときの (√x - 2)/(x - 4)。

Step-by-step solution

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   まずは必ず代入を試す。 近づける値を代入して定まった数になり、そこで関数が連続であれば、その数がそのまま極限である。$\tfrac00$ のような不定形になったときにだけ、さらに手を入れる必要が生じる。

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   (1) 代入がうまくいく。 $x=3$ での根号の中は $9+18-2=25>0$ であり、$\sqrt{\ }$ は中身が正のところで連続なので

   $\lim_{x\to 3}\sqrt{x^{2}+6x-2}=\sqrt{25}=5$

   となる。

3. 3

   (2) 代入すると 0/0 になるので因数分解する。 $x=3$ で分子は $9+6-15=0$、分母も $0$ である。因数定理により $(x-3)$ は分子を割り切る。

   $x^{2}+2x-15=(x+5)(x-3)$

   $x\neq 3$ では共通因数が約分でき、この約分が正当なのは、極限が関数の $x=3$ における値を決して評価しないからである。

   $\lim_{x\to 3}\frac{(x+5)(x-3)}{x-3}=\lim_{x\to 3}(x+5)=8$

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   (3) 根号つきで 0/0 になるので共役式を使う。 分子と分母に $\sqrt x+2$ を掛ける。

   $\frac{\sqrt x-2}{x-4}\cdot\frac{\sqrt x+2}{\sqrt x+2}=\frac{x-4}{(x-4)\left(\sqrt x+2\right)}$

   ここで $\left(\sqrt x-2\right)\left(\sqrt x+2\right)=x-4$ を使っている。

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   約分して代入する。

   $\lim_{x\to 4}\frac{1}{\sqrt x+2}=\frac{1}{2+2}=\frac14$

   $\boxed{5,\qquad 8,\qquad \tfrac14}$

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   数値で確かめる。 $x=3.001$ では $\sqrt{x^2+6x-2}=5.0012$、$\tfrac{x^2+2x-15}{x-3}=8.001$ である。$x=4.001$ では $\tfrac{\sqrt x-2}{x-4}=0.24998$ となる。3 つとも述べた値に近づいている。(3) についてはもう 1 つの確認もできる。この極限は定義そのままで $x=4$ における $\sqrt x$ の微分係数であり、$\tfrac{1}{2\sqrt4}=\tfrac14$ である ✓。