25 x^(3/2) の x についての不定積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   定数を外に出す。 定数はそのまま積分の外へ出せる：$\int 25x^{3/2}\,dx=25\int x^{3/2}\,dx.$

2. 2

   $n=\tfrac32$としてべき乗則を適用する。 公式$\displaystyle\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$は$n\ne-1$である限り、分数の指数も含めて成り立つ。ここでは$n+1=\frac32+1=\frac52.$

3. 3

   新しい指数で割る。 $25\int x^{3/2}\,dx=25\cdot\frac{x^{5/2}}{\tfrac52}+C.$

   $\tfrac52$で割ることは$\tfrac25$を掛けることと同じであり、ここが最もつまずきやすい箇所である。

4. 4

   定数を掛け合わせる。 $25\cdot\tfrac25=10$なので、原始関数は$10x^{5/2}+C$である。

5. 5

   微分して確かめる。 $\dfrac{d}{dx}\left(10x^{5/2}\right)=10\cdot\tfrac52 x^{3/2}=25x^{3/2}$となり、もとの被積分関数に戻る。