x → 0 のときの (√(3 + x) − √3)/x の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   不定形であることを確認する。 $x=0$では分子が$\sqrt{3}-\sqrt{3}=0$、分母が$0$で$\frac{0}{0}$になる。代入だけでは終えられない。

2. 2

   因数分解ではなく有理化を選ぶ。 障害は平方根どうしの差なので、分子と分母に共役$\sqrt{3+x}+\sqrt{3}$をかける。$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$を使って上側から根号を取り除くのである。

3. 3

   分子を整理する。 $\left(\sqrt{3+x}\right)^2-\left(\sqrt{3}\right)^2=(3+x)-3=x$なので、商は$\frac{x}{x\left(\sqrt{3+x}+\sqrt{3}\right)}$になる。

4. 4

   $x$の因子を約分する。 $x\neq 0$ではこれは$\frac{1}{\sqrt{3+x}+\sqrt{3}}$に等しく、極限が見ているのは$0$の近くの値だけで$0$そのものではない。

5. 5

   $x=0$を代入する。 簡約した式はそこで連続なので、分母を有理化して$\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$が得られる。

6. 6

   数値で確認する。 $x=10^{-8}$での差分商は$0.288675$を返し、$\frac{\sqrt{3}}{6}=0.2886751$——小数第6位まで一致している。