x→0 のときの、(sin x)/x の 1/(cos x − 1) 乗の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   不定形の種類を見分ける。 $x \to 0$ のとき底は $\frac{\sin x}{x} \to 1$、指数は $\frac{1}{\cos x - 1} \to \pm\infty$ である（$\cos x - 1 < 0$ なので実際には負の側へ発散する）。これが $1^{\infty}$ の形であり、その値は本当に定まっていない——何にでもなりうる——ので、推測ではなく解消しなければならない。

2. 2

   対数をとって累乗を商に変える。 極限を $L$ とおく。すると

   $\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln\!\left(\frac{\sin x}{x}\right)}{\cos x - 1}$

   となる。これはただの $0/0$ 型の極限であり、級数展開できれいに処理できる。

3. 3

   底を x² の位数まで展開する。 $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$ より

   $\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)$

   となる。次に $u = -\frac{x^2}{6}$ として $\ln(1 + u) = u + O(u^2)$ を使えば

   $\ln\!\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x^2}{6} + O(x^4)$

   が得られる。主要項が 1 次ではなく 2 次なので、分母も $x^2$ の位数まで取る必要がある。

4. 4

   分母を同じ位数まで展開する。 $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$ より

   $\cos x - 1 = -\frac{x^2}{2} + O(x^4)$

5. 5

   割って指数関数に戻す。 $x^2$ の因子は打ち消し合い、符号も打ち消し合う。

   $\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{-x^2/6}{-x^2/2} = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3}$

   したがって

   $L = e^{1/3} \approx 1.39561$

6. 6

   数値で確認する。 もとの式を $x = 10^{-2}$ で評価すると $1.3956179$、$x = 10^{-4}$ では $1.3956124$ となり、$e^{1/3} = 1.3956124$ と一致する。この関数は偶関数なので $x < 0$ でも同じ値になり、両側極限が存在する。