f(x) = x を 0 から 4 まで積分せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   どの公式を使うかを見極める。 被積分関数 $x$ はべき $x^{1}$ なので、$n=1$ としたべき乗の公式 $\int x^{n}dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ で処理できる——置換も部分積分も要らない。

2. 2

   原始関数を書き下す。

   $\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C$

   定積分では積分定数 $C$ を落としてよい。上端でも下端でも現れ、引き算で打ち消し合うからである。

3. 3

   微積分の基本定理を適用する。 原始関数を上端で評価し、下端での値を引く：

   $\int_{0}^{4}x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{4}=\frac{4^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{16}{2}-0=8$

4. 4

   図形的に結果を確かめる。 $[0,4]$ 上で $y=x$ のグラフは直線なので、その下の領域は底辺 $4$、高さ $4$ の直角三角形である：

   $\text{面積}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8$

   図形的な面積が原始関数による計算とぴたりと一致する。1 次の被積分関数に対してはこれが最も強力な確認になる。

5. 5

   答えを述べる。

   $\int_{0}^{4}x\,dx=8$