f(x) を n = 1 から無限大までの x^n / n² の和、すなわち二重対数 Li2(x) とする。f は x = −1 で微分可能か。

Step-by-step solution

1. 1

   収束区間の中で x = −1 がどこにあるかを押さえる。 比の判定法から収束半径は$R=1$であり、両端点でも$\sum \tfrac{(\pm 1)^n}{n^2}$は絶対収束する（$\sum 1/n^2$で押さえられる）。したがって$f$は閉区間$[-1,1]$上で定義され、$x=-1$は端点である——だからこそこの問いは自明ではない。$(-1,1)$の内部なら微分可能性はただで手に入るが、端点では議論が必要になる。

2. 2

   区間の内部で項別に微分する。 $|x|<1$では、

   $f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n x^{n-1}}{n^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n}=-\frac{\ln(1-x)}{x}$

   ここでは$t=x$として$\sum_{n\ge 1}\tfrac{t^n}{n}=-\ln(1-t)$を使い、そのあと$x$で割っている。

3. 3

   微分した級数を端点で調べる。 導関数の級数に$x=-1$を入れると

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots$

   となる。交代調和級数は（交代級数の判定法により）収束し、その和は$\ln 2$である。これが$x=+1$の場合との決定的な違いである。あちらでは同じ級数が発散する調和級数になり、導関数が存在しなくなる。

4. 4

   アーベルの定理で収束を微分可能性に格上げする。 微分した級数が$x=-1$で収束するので、それは$[-1,0]$上で一様収束し、導関数の一様収束する級数は端点を含めて項別に積分・微分してよい。したがって$f$は$x=-1$で微分可能であり（$[-1,1]$の内側からの片側微分として、また$\operatorname{Li}_2$の$-1$を越えた解析接続を使えば両側の微分としても）、

   $f'(-1)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\ln 2$

   となる。

5. 5

   閉じた形で確認する。 式$f'(x)=-\tfrac{\ln(1-x)}{x}$は$x=-1$で連続であり、

   $f'(-1)=-\frac{\ln 2}{-1}=\ln 2\approx 0.6931$

   を与えて級数の値と一致する。（参考までに$f(-1)=\sum \tfrac{(-1)^n}{n^2}=-\tfrac{\pi^2}{12}$である。）

   $\boxed{\text{可能。}f'(-1)=\ln 2\approx 0.693}$

6. 6

   2つの端点を対比する。 $x=1$では差分商$\tfrac{f(1)-f(x)}{1-x}=\sum_{n\ge 1}\tfrac{1+x+\cdots+x^{n-1}}{n^2}$が$\sum \tfrac{1}{n}=\infty$に向かうので、$f$はそこで垂直な接線をもち微分不可能である。$x=-1$における$(-1)^n$という因子1つの違いが、発散する級数を収束する級数に変えている——答えのすべてがそこにかかっている。