n が無限大に近づくときの、i = 1 から n までの (3 + 2i/n)^2 かける (2/n) の和の極限を、定積分と解釈して求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   和を積分の定義と見比べる。 $[a,b]$ 上での $f$ の右端リーマン和は

   $\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(a+i\,\Delta x)\,\Delta x,\qquad \Delta x=\frac{b-a}{n}.$

   である。したがってやるべきことは、幅 $\Delta x$、標本点 $a+i\,\Delta x$、関数 $f$ の3つを対応させることである。

2. 2

   幅を読み取り、そこから区間の長さを出す。 2乗の外側にある因子は $\dfrac{2}{n}$ なので、

   $\Delta x=\frac{2}{n}=\frac{b-a}{n}\quad\Longrightarrow\quad b-a=2.$

3. 3

   左端を読み取る。 標本点は $3+\dfrac{2i}{n}=3+i\,\Delta x$ である。これを $a+i\,\Delta x$ と対応させると $a=3$ が得られ、$b=a+2=5$ となる。（$i$ が掛かっていない定数は、つねに左端である。）

4. 4

   関数を読み取る。 標本点に施されている操作は2乗することなので $f(x)=x^{2}$ である。3つを合わせると、

   $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left(3+\frac{2i}{n}\right)^{2}\frac{2}{n}=\int_{3}^{5}x^{2}\,dx.$

5. 5

   積分を計算する。

   $\int_{3}^{5}x^{2}\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{3}^{5}=\frac{125}{3}-\frac{27}{3}=\frac{98}{3}\approx 32.667.$

   確認として $n=10^{6}$ で和を直接計算すると $32.66668$ となり、$\tfrac{98}{3}$ と小数第5位まで一致する。なお、この読み取りが一意に見えないのは偶然ではない。同じ極限を $a=0,\ b=2$、$f(x)=(3+x)^{2}$ と読んでも同じ値になる。