x = √(1 − y²) + 1 から x = y までの (y − x) dx の積分を取り、それを y = 0 から 1 まで dy で積分した累次積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   $y$を固定して内側の$x$積分を実行する。 $y-x$の$x$についての原始関数は

   $yx-\frac{x^2}{2}$

   である。$[0,1]$では下端$\sqrt{1-y^2}+1$が$1$以上、上端$y$が$1$以下なので、積分区間は「逆向き」になっている点に注意したい。これは問題ない：微積分学の基本定理はそのまま適用でき、単に符号が生じるだけである。区間を入れ替えずにその符号をそのまま持ち続ける。

2. 2

   両端で値を求める。 $x=y$では$y^2-\tfrac{y^2}{2}=\tfrac{y^2}{2}$。$x=\sqrt{1-y^2}+1$では、平方を展開して

   $\left(\sqrt{1-y^2}+1\right)^2=(1-y^2)+2\sqrt{1-y^2}+1=2-y^2+2\sqrt{1-y^2}$

   となるので、下端での値は$y\sqrt{1-y^2}+y-1+\tfrac{y^2}{2}-\sqrt{1-y^2}$である。

3. 3

   引き算して$y^2/2$の項が消えるのを見る。 内側の積分は

   $1-y+\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-y^2}$

   にまで潰れる。この相殺こそがこの問題の眼目である：ごちゃごちゃした根号の式に見えたものが、初等的な4つの部分になった。

4. 4

   各部分を$y\in[0,1]$で積分する。

   $\int_0^1(1-y)\,dy=\frac12$

   $\int_0^1\sqrt{1-y^2}\,dy=\frac{\pi}{4}\quad\text{（単位円の4分の1の面積）}$

   $\int_0^1 y\sqrt{1-y^2}\,dy=\frac13\quad\text{（}u=1-y^2\text{ と置換）}$

5. 5

   まとめて数値で確認する。

   $\frac12+\frac{\pi}{4}-\frac13=\frac{\pi}{4}+\frac16$

   数値では$\pi/4+1/6=0.9520648300641$である。内側の積分を$y$について2,000,000点の格子で評価して平均すると$0.9520648300642$となり、小数第12位まで一致する ✓。