1/(√x × √(x+1)) dx の積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   2つの根号を一度に片づける置換を探す。 障害は$\sqrt{x}$と$\sqrt{x+1}$が同時に現れている点にある。恒等式$\cosh^{2}t-\sinh^{2}t=1$はまさにこの組み合わせに対応するので、

   $x=\sinh^{2}t$

   とおく。すると$\sqrt{x}=\sinh t$、$\sqrt{x+1}=\sqrt{\sinh^{2}t+1}=\cosh t$となり、2つの根号が一挙に初等的な形になる。

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   微分を計算する。 合成関数の微分法により、

   $dx=2\sinh t\cosh t\,dt$

3. 3

   代入して、すべてが約分される様子を見る。

   $\int\frac{1}{\sinh t\cosh t}\cdot2\sinh t\cosh t\,dt=\int2\,dt=2t+C$

   被積分関数がまるごと定数にまで潰れる——置換の選び方が正しかったことのこれ以上ない証拠である。

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   置換をもとに戻す。 $t\ge0$のもとで$x=\sinh^{2}t$より$\sinh t=\sqrt{x}$、したがって$t=\operatorname{arsinh}\sqrt{x}$となり

   $\int\frac{dx}{\sqrt{x}\sqrt{x+1}}=2\operatorname{arsinh}\sqrt{x}+C$

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   対数を用いた形も示す。 $u=\sqrt{x}$として$\operatorname{arsinh}u=\ln\left(u+\sqrt{u^{2}+1}\right)$を使うと：

   $2\operatorname{arsinh}\sqrt{x}=2\ln\!\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)$

   $x=0.3$、$1$、$4$では2つの形が$10^{-13}$の精度で一致する ✓。逆双曲線関数を必要としないので、対数の形のほうが好まれることが多い。

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   微分して検算する。 $2\operatorname{arsinh}\sqrt{x}$を数値微分すると、$x=0.3$、$1$、$4$のいずれでも$\dfrac{1}{\sqrt{x}\sqrt{x+1}}$と$10^{-5}$以内で一致する ✓。記号的にも、$2\ln\left(\sqrt x+\sqrt{x+1}\right)$を微分すると$\dfrac{2}{\sqrt x+\sqrt{x+1}}\left(\dfrac{1}{2\sqrt x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}\right)$となり、整理すれば被積分関数に一致する ✓。定義域は$x>0$である。