ある学生が ∫x^7 dx を x^8/3 + 7 と書いた。原始関数を正しく求め、誤りを説明せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   べきの公式を正確に述べる。 $n\neq -1$ なるすべての指数について

   $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

   が成り立つ。ここでは 2 つの別々のことが起きている。指数が 1 つ 上がり、そして項がその新しい指数 $n+1$ で割られる——もとの指数でもなければ、他の何かでもない。

2. 2

   $n=7$ で適用する。 新しい指数は $7+1=8$ なので

   $\int x^7\,dx=\frac{x^8}{8}+C$

   となる。

3. 3

   示された答えにある 2 つの誤りを特定する。 $\frac{x^8}{3}+7$ では指数 $8$ は正しいが、(i) 分母は $8$ であるべきなのに、どこからともなく $3$ が現れており、(ii) 定数が $7$ という特定の数として書かれている。原始関数は 任意の 定数 $C$ を伴わねばならず、$C$ のどの値も正しい原始関数を与える。

4. 4

   示された答えを微分して誤りであることを示す。 微分はどんな積分にも備わった検算である。

   $\frac{d}{dx}\left(\frac{x^8}{3}+7\right)=\frac{8x^7}{3}$

   これは $\frac83$ 倍だけ大きすぎるので、$x^7$ の原始関数ではありえない。

5. 5

   正しい答えを微分する。

   $\frac{d}{dx}\left(\frac{x^8}{8}+C\right)=\frac{8x^7}{8}=x^7$

   分母の $8$ は、微分のべきの公式が生む $8$ をちょうど打ち消すためのものである——新しい指数で割る 理由 がこれである。答えは $\frac{x^8}{8}+C$ である。