x = -7 から x = 0 までの f(x) = -2x^2 * e^x の概形を描き、臨界点・変曲点・値域を示せ。

Step-by-step solution

1. 1

   まず符号と両端を読む。 つねに $x^2\ge 0$ かつ $e^x>0$ なので、因子 $-2$ により

   $f(x)\le 0\quad\text{が成り立つのはすべての }x,\qquad f(x)=0\text{ となるのは }x=0$

   となる。左端では $f(-7)=-98e^{-7}\approx -0.0894$ なので、曲線は軸のすぐ下から始まる——指数関数がすでに $x^2$ の増大を押しつぶしているのである。

2. 2

   積の微分法で微分する。

   $f^{\prime}(x)=-2\left(2xe^{x}+x^{2}e^{x}\right)=-2xe^{x}(x+2)$

   なので臨界点は $x=0$ と $x=-2$ である。因子 $e^x$ は決して 0 にならない。

3. 3

   各区間で進む向きを 定める。 $x<-2$ では $x$ も $x+2$ も負なのでその積は正であり $f^{\prime}<0$、曲線は下がる。$-2<x<0$ では積が負なので $f^{\prime}>0$、曲線は上がる。したがって

   $x=-2\ \text{は極小点},\qquad f(-2)=-2(4)e^{-2}=-\frac{8}{e^{2}}\approx -1.0827$

   であり、この区間での最大値を与えるのは $x=0$ で $f(0)=0$ である。

4. 4

   2 階導関数から変曲点を求める。

   $f^{\prime\prime}(x)=-2e^{x}\left(x^{2}+4x+2\right)$

   $x^{2}+4x+2=0\;\Longrightarrow\;x=-2\pm\sqrt2\approx -3.4142,\ -0.5858$

   であり、$f(-3.4142)\approx -0.7671$、$f(-0.5858)\approx -0.3820$ である。曲線はこの 2 点の間で下に凸、その外側で上に凸である。

5. 5

   概形をまとめて値域を述べる。 $[-7,0]$ 上でグラフは $-0.089$ 付近から始まり、谷 $\left(-2,\,-8e^{-2}\right)$ まで下がり、そこから原点へ下側から近づいて接する。$f^{\prime}(0)=0$ なので到達時には平らになる。したがって値域は

   $\left[-\frac{8}{e^{2}},\,0\right]\approx[-1.0827,\,0]$

   である。数値でも形が確かめられる。$f(-7)=-0.0894$、$f(-3.4142)=-0.7671$、$f(-2)=-1.0827$、$f(-0.5858)=-0.3820$、$f(0)=0\;\checkmark$ である。